Le colloque Didapro explore depuis 30 ans le domaine de la didactique de l'informatique. Une fois le calcul de pascal(9, 5)= 126 effectué, l’algorithme récursif va calculer pascal(9, 6) = 126. Récursivité¶. Exercices corrigés sur la récursivité (TD 02) 24-01-2021. Transformer deux boucles imbriquées en une procédure récursive; I-C. Calculer la factorielle d'un entier; I-D. Remplir un carré en diagonale; I-E. Sources des exemples; Page 3. La fonction aura la signature suivante : estCarre(a, mini, maxi) où mini est un minorant de la racine carrée de a et maxi est un majorant de la racine carrée de a. On connaît un sommet du tronc (le sommet A qui est un paramètre). Imaginons que notre fonction puisse être coupée en deux sous-problèmes de taille n/2 et que:$$C(n)=2C\left(\frac{n}{2}\right)+f(n)$$où f(n) est en \(\mathcal{O}(n)\). Ecrire une fonction récursive power(a, n) qui renvoie \(\mathtt{a^n}\) en appliquant la méthode square and multiply qui consiste à ne faire que des successions d’élévation au carré ou de multiplication. découverte et initiation au réseau informatique pédagogique du lycée Léonard de Vinci à Soissons. Par exemple, logstar(2020) vaut 4 comme le montrent les 4 itérations ci-dessous : Ecrire une implémentation récursive de la fonction logstar. 30 DT Commencer. Les classes. Pour bien commencer la multiplication F est initialisé à 1. Par exemple, si n=5 et L=[0, 2, 4] alors le suivant est [0, 3, 4] et le suivant encore est [1, 2, 3] dont le suivant est [1, 2, 4]. Ainsi, C(n) est elle-même une suite arithmético-géométrique, et on a:$$\begin{align}C(n) & = C(n-1) + 3\\ & = [C(n-2) + 3] + 3 = C(n-2) + 2\times3\\&=[C(n-3)+3]+2\times3=C(n-3)+3\times3\\& = …\\&=C(0) + 3n\\&=3n+1\end{align}$$car C(0) = 1 (pour n = 0, il n’y a que le test sur n). On rappelle que le pgcd de deux entiers désigne le plus grand diviseur commun à ces deux entiers. La deuxième partie sera l'écriture d'une fonction qui s'appelle elle-même. Re-testez la fonction et observez une nette amélioration des performances (bien que le tri reste un tri quadratique, dit lent). L’exercice consiste à coder une fonction récursive ts(a, b, c, n), de construction sous Turtle d’un triangle de Sierpinski de profondeur n et de frontières les côtés délimités par les points a, b et c. Le triangle initial sera créé avec le code suivant : On demande de construire un motif formé de cercles tangents extérieurement et qui se contruit par générations : on adjoint à chaque cercle \(C\) créé à la génération courante, deux cercles de rayon moitié moins grand et tangents au cercle \(C\) au point situé au sud et au point situé à l’est. On demande d’écrire une fonction récursive \(\mathtt{carres}\) qui va afficher, sous Turtle, \(\mathtt{n}\) carrés emboîtés. D’où le code suivant : Rien à voir avec la récursivité, mais le module standard itertools permet de générer automatiquement les menus possibles : On se propose de dessiner la figure fractale suivante (vous devriez distinguer clairement un arbre) : La figure ci-dessus est un arbre de Pythagore de longueur 9. Lignes 1-2 : la taille de la pile est augmentée à 1500 appels. Contrôle de l’entrée utilisateur. On demande d’écrire des fonction récursives. On essayera de faire en sorte que chaque cercle soit dessiné une fois et une seule. On s’intéresse maintenant à la constitution des paniers. Voici son principe de fonctionnement. Une méthode générale existe pour transformer une fonction récursive quelconque en une fonction itérative équivalente. Récursivité Définition. L’algorithme précédent utilise ce que l’on appelle le paradigme de programmation impérative: il est décrit par une séquence d’instructions qui décrivent précisément l’évolution des valeurs des variables, à l’aide de boucles et de conditionnelles. Voici une des 92 solutions lorsque n = 8 : On placera les dames dans l’ordre des colonnes (d’abord dans la première, puis une autre dans la 2e à l’abri de la 1re et de même pour les colonnes suivantes). 1 - Principe. Une telle condition est connue comme une condition de base. On raisonnera en considérant deux cas : Vous penserez à traiter au début du code de votre fonction récursive tous les cas d’exclusion du raisonnement ci-dessus. Une récursion a toujours la forme suivante : Limitation de la récursivité Avantage de la récursion Inconvénient de la récursivité Dans cette section, vous apprendrez les fonctions récursives de Python. Si la liste contient un seul élément, elle est partitionnée en deux listes entourant le pivot, ce qui ramène au cas de base. On découpe à nouveau cette liste en les deux listes suivantes qui sont moitié moins grandes que la liste M : En comparant avec 12 (dernier terme de la première liste), on voit que x est forcément dans la deuxième liste [31, 46]. D’ailleurs, en modifiant l’algorithme ci-dessus, on peut calculer le nombre d’appels de la fonction, en plaçant un compteur qui s’incrémente à chaque appel : On voit qu’il y a eu presque 300 millions d’appels alors que pascal(30, 14) ne nécessite, en théorie, que la connaissance de quelques dizaines de valeurs du tableau de Pascal ! Ce qui peut se calculer de la manière suivante : d’où le total de \(\mathtt{9+66=75}\) chiffres. Il s’agit mathématiquement de construire le produit cartésien \(\mathtt{E\times P\times D}\) des trois ensembles. Le Pythonesque au secours et notre script devient de la Rocket Science ! Soit la fonction \(\mathtt{f}\) telle que, pour tout entier \(\mathtt{n\geq 1}\) on ait \(\mathtt{f(n) =1+2+\dots+n}\), somme des entiers entre 1 et \(\mathtt{n}\) inclus. Les mots dossier et répertoire sont ici synonymes. Par exemple, factoriser(269500) est la liste [2, 2, 5, 5, 5, 7, 7, 11]. Il existe, par ailleurs, plusieurs algorithmes de génération d’une décomposition, voir par exemple le document de David Eppstein. ⏩. Chaines de caractères / Exercices. Une fonction récursive est dite Terminale lorsque toutes les instructions se font à l'intérieur de la fonction. Remarquer qu’un entier n se termine par 42 si et seulement si le reste de sa division par 100 est justement 42. Récursivité¶ Une fonction récursive est une fonction qui s'appelle elle-même. Certains problèmes sont définis de manière éminemment récursive ; voici quelques exemples : Pour certains problèmes, qu’ils soient définis de manière récursive ou pas, l’algorithme de résolution peut être implémenté en version récursive ou en version itérative. La liste chaînée n’a pas de taille fixée à l’avance. L’usage est de faire commencer les indices à 0. où dejaTriee est un « drapeau » valant True ou False et qui indique si la liste L est oui ou non déjà triée à partir de son 2ème élément. On donne un entier positif z et on définit combien42(z) comme étant le nombre de fois qu’on rencontre 42 dans l’écriture décimale de z. Modifier le code de la fonction pour qu’on puisse connaître le nombre de produits effectués. La recherche pourra durer plusieurs dizaines de secondes. On dispose d’un répertoire « source » et d’un répertoire « cible ». On pourra raisonner de la manière suivante : On utilisera des ensembles et des slices. Pour n = 12 on devra trouver 73712 placements possibles. Vous pouvez utiliser Tape entréeavec le programme ci-dessus afin d'essayer d'autres valeurs d'entrées. Ouais… Le titre est long… mais c’est pour le référencement ! Ecrire une fonction Python qui calcule la somme des inverses des carrés des n premiers entiers naturels non nuls. Concernant le code, il est important de comprendre que la fonction menus(etapes) renvoie une liste de tous les repas possibles et qu’un repas est lui-même une liste constituée d’un item de chaque étape du repas. On part d’un segment \(AB\) que l’on voit comme la diagonale d’un rectangle \(ACBD\). Lead discussions. Introduction à l’algorithmique et à la programmation avec Python Laurent Signac https://deptinfo-ensip.univ-poitiers.fr 27 septembre 2017 le plus petit diviseur de 1000019 est 47. pour les entiers entre 1 et 9 : 9 chiffres, examiner les cases à portée du cavalier depuis la case, sélectionner les cases non déjà occupées (on les connaît grâce au plateau, relancer le parcours depuis chacune de ces cases avec un appel récursif (sans oublier de mettre à jour, replacer, après les appels récursifs, le plateau, la liste vide est de type « liste-entier », toute liste d’entiers est de type « liste-entier », placés à des indices strictement croissant. Ecrire une fonction récursive hilbert(a, b, c , d, n) qui dessine la courbe de Hilbert \(H_n\) et où \(a\), \(b\), \(c\) et \(d\) sont les sommets du carrés énumérés dans le sens direct en commençant par le sommet en haut à gauche. on a besoin d’une fonction remplir(x, y, z, t) où x, y, z et t sont des sommets du carrés (donc des points de la forme (a, b)) : Soit à dessiner un arbre (disons \(T\)) de hauteur \(\mathtt{n\geq 1}\), de tronc ABCD où A et B sont les points de la partie supérieure du tronc, là où vont pousser les branches. Ressources Python. I. Boucles; I-A. ne l’est pas car la 4ème et la 5ème cases sont des cases voisines et occupées par des boules. On dispose de 3 tiges verticales A, B et C et de \(\mathtt{n>0}\) disques percés en leur centre, de diamètres deux à deux distincts, empilés sur la tige A et disposés en sorte que chaque disque repose sur un disque de diamètre strictement supérieur. D’où le code suivant : La fonction trier est une fonction qui s’appelle elle-même (à la ligne 8) : c’est une fonction récursive, ce n’est pas plus compliqué que ça. Le calcul de pascal(30,14) pourra mettre jusqu’à une minute : ce qui est énorme pour un résultat aussi simple. ne permet pas un calcul efficace d’un coefficient binomial, en sorte que le calcul de \(\ds{30\choose 15}\) peut nécessiter plusieurs minutes. Votre code doit pouvoir passer les tests proposés au problème Easy Longest Increasing Subsequence sur le site SPOJ. Cette famille de nombres est enregistrée dans la base de suites d’entiers OEIS. En pratique, ce n’est pas ainsi (en utilisant des slices) qu’une dichotomie est implémentée. Combinaisons via l’ordre lexicographique, 86. Régler avec un minimum de pièces de monnaie, 87. Trouvé à l'intérieur – Page 33510.10 Récursivité . . . . . 10.11 Quiz . . . . . . . . . . 10.12 Exercices . ... 352 355 356 358 360 364 370 371 373 10.1 Approche intuitive 10.1.1 Python On se propose d'écrire un. Début Lire le nombre x S← 1 S 335 10 Le langage ... Lignes 12 et 16 : la liste initiale n’est pas modifiée et c’est une copie de, l’algorithme classique de Transformée de Fourier rapide, dont la, Implémenter l’addition par une suite d’incrémentations (d’une unité). Premier exemple Introduction Informatique Lycée LDV Soissons . qui permet de progresser ligne à ligne (cf. En déduire une fonction non récursive pascal(n, p) retournant le coefficient binomial aux indices n et p. Bien sûr, cette fonction pascal serait améliorable : ainsi, pascal(2000, 3) calcule la totalité de la ligne d’indice 1999 alors que seulement les 4 premiers termes sont nécessaires. La programmation récursive va nous permettre de coder une fonction dont le code se rapproche de la version mathématique. Si on utilise cette définition, on doit alors réfléchir de cette façon : 08 ° Analyser la fonction récursive. Comparer son code à la version récursive de la somme des n premiers entiers. On veut « cloner » tous les fichiers et répertoires de la source dans la cible. Evidemment, il ne faut pas utiliser d’opérateur de comparaison, tel que <=, entre listes. Je me suis servi de la suite de Fibonacci pour exposer le principe de la programmation dynamique, mais il va de soit que l’on peut calculer les termes de cette suite autrement. Le tri fusion est un tri par comparaison récursif. Version avec définition d'une fonction avec récursivité . Nombre intermédiaire entre trois entiers¶ (Exercice assez factice de récursivité) Ecrire une fonction … En Python, il est possible de modifier le plafond du nombre d’appels : Depuis la version 3.5 de Python, une exception de type RecursionError est déclenchée en cas de dépassement de la limite. La 4e de couv. indique : " La clef de la réussite aux concours est de bien maîtriser les exercices incontournables du programme. Voici un autre exemple parmi tant d’autres: La complexité de ce dernier est en \(\mathcal{O}(n)\)… donc aussi bien que l’approche dynamique! Cours Langage python: Cours1 (cours complet) Programme. Cette approche peut être appliquée à plusieurs types de problème en programmation. Sur Leetcode, vous passerez 22 tests sur 54. L'analyse d'image touche à l'heure actuelle de nombreux domaines, avec des objectifs aussi variés que l'aide au diagnostic pour les images médicales, la vision artificielle en robotique ou l'analyse des ressources terrestres à partir ... En effet, on arrive à démontrer mathématiquement que:$$C(n)=\mathcal{O}(k^n).$$La complexité est donc ici exponentielle, ce qui n’est pas bon du tout ! Pour calculer la somme des chiffres d’un entier on pourra utiliser la méthode suivante : Cet exercice provient de HackerRank : Recursive Digit Sum. Trouvé à l'intérieur – Page 3On obtient par exemple le code Python suivant : 1. Cet exemple est inspiré du cours Programmation récursive de Christian Queinnec. r def somme(n): = 0 for i in range(n + 3 1 Récursivité. Introduction Exercices de Seconde Indices du plus petit élément dans une liste Retirer les doublons Tracer la courbes représentative d'une fonction Triangle de Pascal Discrimination de nombres Liste de nombres premiers Tout en une ligne ! 16: Récursivité. Design like a professional without Photoshop. On découpe la liste en les deux listes suivantes qui sont moitié moins grandes que la liste L : En comparant avec 46 (dernier terme de la première liste), on voit que x est forcément dans la première liste, disons M = [12, 31, 46]. Contenu Cours Tout Afficher. Documentation Cours AP2 0 ... 2.4. Par exemple, composition_paniers(3, 5) doit renvoyer la liste des 21 listes suivantes : On cherche à régler un montant avec des pièces choisies parmi des pièces de. Arrivée en un point \(P\) de la ligne inférieure de la grille, la numérotation se poursuit avec le point \(Q\) immédiatement à droite de \(P\) et se poursuit sur la diagonale montante contenant \(Q\), et ainsi de suite. Question; Solution; Répondre aux différentes questions concernant les définitions du cours dans l'onglet « Réponse ». Une permutation d’un ensemble \(\mathtt{A}\) correspond juste à un suite contenant chaque élément de \(\mathtt{A}\) une fois et une seule. Démystification de la récursivité en Python. Cet exercice est plus pour la culture générale que la récursivité ! Tous les exercices de cette page sont d’abord à rédiger en pseudo-code avec un papier et un crayon. Ceci est très lié à la notion de récurrence en mathématiques.. Avant de donner une définition, voici des exemples d’objets de type « liste-entier » : Plus généralement, on construit récursivement les objets suivants, dit de type « liste-entier » : Ecrire une fonction récursive aplatir(L), qui renvoie, sous forme de liste, les entiers d’une liste de type « liste-entier » (en anglais list flattening). Voici un exemple plus représentatif. Trouvé à l'intérieur – Page 111... maximale Suite de Syracuse et altitude maximale Suite de Syracuse et altitude maximale • Chapitre concerné : Récursivité (liste) Ce que fait l'algorithme ... par la suite (c'est-à- dire le terme le plus grand, au cours de son vol). En déduire une fonction comb(n, p) qui liste toutes les combinaisons de n objets pris p à p, une combinaison étant vue comme un mot au sens de la question 1. et on souhaite effectuer des substitutions de prénoms, pour que la nouvelle phrase soit. Donc les lignes 12-17 sont équivalentes à un appel trier(b, a, c) de trier entre les lignes 4 et 9. Il propose un outil en ligne permettant de visualiser l’exécution de votre code et l’état de la mémoire pendant l’exécution, en particulier de conteneurs (listes, chaînes, etc).
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